Чтобы решить дифференциальное уравнение ln(y') = exp(y), необходимо сначала разделить обе стороны уравнения на y'. Это даст следующее уравнение:
ln(y')/y' = exp(y)
Теперь мы можем применить к обеим сторонам уравнения функцию exp, чтобы получить следующее уравнение:
exp(ln(y')/y') = exp(exp(y))
Следуя правилу экспоненты, мы можем записать следующее уравнение:
y'/y = exp(y)
Теперь мы можем разделить обе стороны уравнения на exp(y), чтобы получить следующее уравнение:
y'/exp(y) = y
Это уравнение можно переписать следующим образом:
y' = y * exp(y)
Это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Его можно решить с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Для этого мы сначала выразим y' как произведение функции от x и некоторого неизвестного коэффициента:
y' = C * exp(y)
где C - неизвестный коэффициент.
Затем мы подставим это выражение в исходное уравнение и получим следующее уравнение:
C * exp(y) = y * exp(y)
Это уравнение можно переписать следующим образом:
C = y
Таким образом, решение дифференциального уравнения ln(y') = exp(y) имеет следующий вид:
y' = y * exp(y)
или
y' = y^2 * exp(y)
Это решение можно также записать в следующем виде:
y' = e^(y + ln(y))
Это решение является общим решением дифференциального уравнения. Для того, чтобы найти конкретное решение, необходимо задать начальные условия.
