Как запомнить или вывести формулы, связанные с синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом?

Question

Я, начав самостоятельно изучать пределы, заметил, что у меня значительные трудности вызывают пределы, требующие тригонометрических преобразований. Что делать?

Comments

Посмотрела внимательней вашу ссылку-да, формулы непростые. Но их можно только заучить-вывести невозможно(или это не облегчит запоминания). Ну что поделать-все учат..

Answer 1

Польщена Вашим обращением-но никаких специальных приемов запоминания предложить не могу. У меня с этим трудностей не возникало-надо только представить себе треугольник и заучить как следует, какое соотношение сторон соответствует каждой тригонометрической функции. Уж не так это и сложно-я вот до сих пор помню, хотя закончила институт больше сорока лет назад..

Comments

Я знаю, что синус угла — это отношение ординаты к радиусу, косинус угла — отношение абсциссы к радиусу, тангенс угла — отношение ординаты к абсциссе, а котангенс угла — отношение абсциссы к ординате, но не всё так просто. Любуйтесь.

---

Петрович, советую более простой способ запоминания-только что пришло в голову. Изображаете 4 прямоугольных треугольника разным цветом-скажем, синим, красным, зеленым и желтым. Над каждым треугольником пишете соответствующую функцию-и в каждом треугольнике обводите соответственно синим, красным, зеленым или желтым те стороны(напр., противолежащий катет и гипотенузу для синуса)-соотношение которых образует данную функцию. Это вам поможет лучше запомнить-все же зрительная память это класс. Я все же работала гувернанткой по математике-и здорово помогало ученикам.Ну, а преобразования функций можно только заучить-тут ничего не поделаешь..

Answer 2

У нас были другие акценты. А с этой темой я более вольфрамом баловался, он такие решения экзотических задач выдает, закачаешься. А вы это о первом замечательном пределе и его следствиях? Так вроде на этом уровне как бы само собой. 

Другое дело, что практически работают лишь некоторые частные случаи пределов. В общем случае, типа такого:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Раскрытие_неопределённостей

(Здесь 0 — бесконечно малая величина, ∞ — бесконечно большая величина, 1 — бесконечно близкое к числу 1 выражение) - подвох. Бесконечности заменяются пределами. Пределы и есть пределы. Бесконечности так определять нельзя. Бесконечность лишает права использовать знак равенства, и прочая. В пределе, извините за напоминание, стрелка.

Comments

Я знаю, что неопределённость ∞ - ∞ раскрывается через нахождение общего знаменателя или умножения на сопряжённое выражение, 0/0 — делением многочлена на двучлен (x-x₁), где x₁ — корень уравнения, ∞/∞ — делением числителя и знаменателя на старший член без постоянного множителя, 1^∞ — раскрывается через второй замечательный предел, когда функцию под пределом приводят к (1+1/n)ⁿ, где n — любая функция, которая стремится к бесконечности; если в пределе есть неопределённость вида 0/0 и содержится тригонометрическая функция, то используя тригонометрические тождества и/или замену переменной, приводят к виду (sin α)/α, где α — любая функция, стремящаяся к нулю. Правило Лопиталя пока не изучал. Если допустил ошибку — укажите. Я забываю не первый замечательный предел, а формулы понижения степени, произведение синусов и косинусов и особенно универсальную тригонометрическую подстановку.

---

Я вижу два подхода - социализация, например, в отношениях преподаватель - студент, и как на самом деле.

Изначальная наивность, которая требуется в университете, необратимо исчезает, если студент "слишком умный". Обманывать тяжело, молодых так и тянет сказать, что они думают на самом деле.

На самом деле аспектов много.

Так, например, "демон бесконечности", когда непонятно, что это, не позволяет создавать никакие рациональные теории. Любые рассуждения о бесконечности в контексте рациональной математики - фантазии, не имеющие к настоящей реальности никакого отношения. Рациональная математика такая и есть - о некоей третьей, никак не определяемой реальности. Саму себя она определить не может - Гёдель.

Стрелку в пределе нельзя менять на равенство. Три точки - с бесконечностями по обе стороны, это хоть что-то, потому как непонятно, что эти точки скрывают.

"Бесконечность = бесконечность" - в процессе трансформации выражений с бесконечностями ошибочна в том, что бесконечности разные. Вы откровенно сравниваете одну бесконечность с совершенно другой. Это пока они обе "демоны", то "непонятно что = непонятно что", а если они конкретные, то они разные.

По ходу, к слову, будьте крайне осторожны с экспонентами. Симметричная математика слепа к ошибкам перехода к экспонентам. Если решение по условиям симметричное, то, возможно, допустимы и экспоненты. Если там стрела времени с учетом второго начала, или еще что несимметричное, то симметричные по своей природе технологии применять нельзя.

---

Прикладной пример. Распознавание образов человеком и "ИИ".

Человек работает в области полноты, он не нуждается в применении пределов.

"ИИ" не имеет доступа к полноте. Эта технология обучается на пространстве точек. Некоторая коллекция образцов обозначает один образ. Образ пластический, он может быть разным. Потому и коллекция образцов.

Практически "ИИ" предъявляют для распознавания не буквально те образцы, которые у него в коллекции, но где-то из окрестностей этих точек.

"ИИ" содержит в памяти все большее количество различных образов.

Чем больше коллекция образов, тем больше областей, где окрестности точек соседних образцов пересекаются. "ИИ" может выбрать другой образец - из окрестности другой точки, поскольку окрестности нескольких точек пересекаются.

Вероятность совпадения входного образа, этих совпадающих областей и таки неправильного решения невелика, но это пока. Коллекции образов растут. Есть способы их разделения, вторичных и третичных уточнений, прочая, но ошибки в распознавании образов у технологии такого типа слишком велики.

По аналогии. Внутри бесконечности одного типа точки одного типа, внутри бесконечности другого типа точки другого типа. Если вы описываете бесконечности как полные, то вы разделяете их в полной мере. Если же вы не знаете, что такое бесконечности, но описываете окрестности точек по характеру самих точек, то наложения окрестностей точек неизбежны.

Пока вы внутри рациональной математики, где бесконечность одна, хотя и непонятно какая, то вы не можете разделять окрестности точек. Распознавание образов на базе одной бесконечности невозможно. Вам нужно уходить в мультиразмерность с различными бесконечностями вдоль каждой оси и с разным характером точек на каждой из этих осей.

Эта аналогия упрощенная, на пальцах. Реальность сложнее, но некоторые принципы я проиллюстрировал.