Что означает тождество: e^(πi)+1=0?

Question

Я давно встречал такое тождество, но не обращал на него внимания. 

P. S. Сегодня смотрел фильм «Три мушкетёра», где упоминалась героиня Констанция. Её имя по какой-то причине у меня ассоциировалось то со скоростью света, то с постоянной Планка, то с гравитационной постоянной, то с числами e и π и, разумеется, с вышеуказанным тождеством e^πi+1=0.

Comments

Это не уравнение. Это тождество Эйлера

---

Какие у Вас интересные ассоциации-сейчас видно будущего ученого..

---

но тождество с определением путать не надо!

---

Извините! Слово «уравнение» написал по привычке, но Вы абсолютно правы, поскольку в уравнении должна содержаться, хотя бы одна переменная. А чем тождество от равенства отличается?

---

Тождество всегда (а=а), а равенство иногда (а=3).
Тождество Эйлера -- из уважения. Надо же было его доказать.
Изумительно красивая штука. Я когда пару лет назад прочитал, как выводится решения уравнения больших целых степеней из аналогичных соображений, только что не прослезился. Так-то всё больше теорема Блоха.

---

Банальное мошенничество, если обобщить. В единичных случаях оно удивляет - поначалу. Фокус, скрывающий все, что не нужно видеть.

Ученый должен понимать, что откуда возникает, а не играть в птичку, не помнящую контекста.

Answer 1

Имя Констанция (constans) переводится с латинского как постоянная или стойкая.

В то время, как фильм вышел на экраны, это имя давали новорожденным.

С уравнением оно ассоциируется. Означает одно - постоянство величины.

Например, c=const.

Постоянная Эйлера, число Авогадро или Планка.

Они имеют числовое значение и от условий задачи не зависят.

Answer 2

При строгом анализе обнаруживается, что это не тождество, хотя и названо "тождеством Эйлера". Символ тождества три черты, а не две, как у равенства.

По обе стороны равенства находятся процессы различной природы и они не совпадают на точке, имея различные отношения со своим контекстом.

Вопрос о совпадении номиналов и что при этом происходит - вопрос совершенно отдельный, он обобщается отдельно.

Answer 3

Математики обожают сводить все, что возможно, к экспонентам. Поскольку с экспонентами работать гораздо проще. Но.

Если исходный процесс объективно сложный, а мы заменяем его объективно простым, то с какой стати мы позволяем себе аппроксимировать сложное простым? Разве простое эквивалентно сложному или они хотя бы равны? Очевидно, что нет.

Что является поводом для посмотреть, что мы упускаем, где ошибаемся в такого рода трансформациях.

Answer 4

Кроме непосредственной манипуляции, вы можете обратить внимание на банальную математику. Чему равно 1+i? Можно ли складывать реальную и мнимую единицы? Они независимые - по определению мнимой единицы.

Что такого происходит в "выражении Эйлера", что позволяет складывать некое выражение с мнимой единицей и реальную единицу? Что здесь уничтожает независимость мнимой единицы?

А ничего. Эта независимость как была, так она и осталась. Каким образом вашим вниманием удается манипулировать? Посмотрите на контекст внимательно и попробуйте найти ответ сами. Свой собственный опыт полезнее комментариев других.

Игнорировать - не выход. Достоинства и недостатки рациональной математики нужно понимать.