Почему математику трудно понять, освоить?

Question

Сужу по школе. В математике шарило не так много из одноклассников. Мы их называли "ботанами". Математик - это от рождения или можно осилить эту науку?

Answer 1

Школьную безусловно может 99,99% школьников.
Док-во: количество успешно окончивших школы за последние 200 лет. Или ко-во поступивших в технические ВУЗы за последние 100.
Что не так с моей колокольни. Я кончил школу в 71. На мне уже начали испытывать новые подходы к програме по математике. Но разыграли по-серьёзному на младшей дочери (1987 г.р.). Это начальная школа в 3 года. Народ просел в арифметике, осмысленном чтении. Пострадали текстовые задачи. А математика (как любой предмет) усваивается только когда чего-то решают. Кажется Зельдович (академик, трижды герой, 4ды лауреат, есть медаль его имени, автор отличного учебника по математике) сетовал, что сдал за последний год экстерном и потому не прорешал нужного числа задач. А количество и сложность задач понизилось. Пришлось упрощать и ЕГЭ и вступительные. В 2004 г. при наборе в биокласс сам наблюдал растерянное лицо учителя: "Она не знает что такое треугольник". А в 2008, устраиваясь на работу, выпускник МИСИСа ответил на вопрос: "Чему равна площадь круга?" -- "Я геометрией давно не занимался".
Короче. Ничего сложного в школьной математике нет. Начать надо с самотестирования и понять где начался сбой. Проверку начать аж с таблицы умножения. И начать учить всё по новой,  с этого самого места. Сайтов, учебников -- навалом. Посмотреть тему в учебнике, набрать в поисковике... И решать, решать... Иначе не усваивается. Так уж нейронная сеть мозга устроена.
Если не нравится собственно математика (странно, забавная наука, а шк. планиметрия ещё и логику отчасти заменяет), утешайтесь тем, что математика - эсперанто науки. Без неё не понять отчего небо голубое, a PV=RT.

Answer 2

Осилить можно что угодно. В том числе и математику.

Прикольно когда математиков называют "ботанами". Не от большого ума видимо.
Математика даётся умным. Чтобы математика давалась легко надо развивать ум.

Все мои одноклассники прекрасно знали математику. Может быть потому что у нас был математический класс. А попал я в него потому что полюбил математику. За красоту.

Математика очень красивая. Может быть в школе этого не видно.

Answer 3

Школьная математика - первый шаг.

Некоторые из тех, кто посчитал математику делом своей будущей жизни, разочарованы в сложности таки серьезной математики.

Базовый курс высшей математики, которую дают по другим специальностям в университетах, тоже еще доступен, особенно если  объясняют толково.

А вот математика как профессия - вот это реально сложно. А почему? Не наглядно.

Что для нас наглядно? Что есть в реальности. Хорошая математика должна описывать реальность. Нынешняя - рациональная - не об этом. У математиков свой мир. Зачем он им такой нужен? Другого нет, другой математики у них нет. Она возможна, ее нужно создавать, но прям сейчас у них ее нет.

Для чего нужна другая математика? Для рационалиста любой научный закон является законом зависимости. Независимости и свободы для них не существует. Их описывать нечем - вообще нечем. Постулировали перед началом Теории Относительности независимость скорости света, но описать эту независимость не смогли. Мнимая единица была тут же возведена в квадрат.

Правильная математика будет полной. Вот тогда то и будет понятно, чего в ней нет. Независимость - это то, чего нет. Как иначе описать то, чего нет, если не через полноту?

Рациональная математика не способна быть полной - Гёдель. Каждый студент математик проходит через кризис разочарования, когда узнает о теоремах Гёделя.

Comments

С первыми 4 абзацами безусловно согласен.
Дальше сложнее.
" Хорошая математика должна описывать реальность." Не будучи математиком воспринимаю её как язык. Как оставаясь внутри математики Вы измерите сумму углов тр-ка?
"описать эту независимость не смогли."  А принцип относительности; понятие одновременности; r² - c²t²  -- это всё не то?
Гёдель. Вторая (недоказанная) проблема Гильберта "звучит так: противоречивы или нет аксиомы арифметики? Курт Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики (если только арифметика не является на самом деле противоречивой)."(Вики). Мне-то (не математику) это кажется очевидным не только для арифметики. Но в математике-то это не так.
Если можете, напишите пост  для не математиков. Я понимаю, что это трудно, но в коментах невозможно

---

Когда я будучи аспирантом встретился с теоремами Гёделя о неполноте, я пришёл в восторг! Это гениально. Математика смогла поставить формальную систему на своё место.

---

"Математика смогла поставить формальную систему на своё место"

Отказав самой себе в возможности существования. Восторг? Не думаю. Деструкция - не мой метод.

Я использую следующую упрощенную формулировку, основанную на теоремах О неполноте Гёделя:

"Любой достаточно сложный, непротиворечивый (и локальный) формализм не может быть полон".

Формализм должен описывать и несистемные свойства реальности также.

Я включаю сюда упоминание о локальности, поскольку, я видел ссылки на некую рациональную логику, которая претендует на полноту, но не является локальной. Где она там внутри себя ошибочная - я не вникал, но чтобы исключить и такую ветвь тоже, я даю ссылку на реальность, как на образец решения. Реальность локальна - уже хотя бы потому, что она обладает свойствами текущего настоящего.

Что за критерий такой о достаточной сложности, и что такое "еще недостаточная сложность"?

Если речь идет о полноте, то из такого определения следует: "Достаточная сложность в смысле Гёделя эквивалента противоречивости". Если формализм уже достаточно сложен, то он противоречив.

На этом сам Гёдель заканчивается. Гёдель формулирует доказательство принципиальной ошибочности рациональной математики.

Полнота предполагает описание бесконечностей. Они по факту окажутся разными, их несколько типов. Но рационализм о них ничего не знает. Математики предложили лишь некие договоренности о бесконечностях. Эти договоренности не имеют подтверждения настоящей реальностью, они формируют некую свою - "некую третью" реальность.

Любая рациональная теория по ходу своего создания почти сразу же упирается в "демона бесконечности" и не может быть создана. Так, например, мы не можем создать даже арифметику, если мы не имеем иных оснований, кроме рациональных. "Восторг"? Не думаю.

Я против деструкции. Если мои проблемы это мои проблемы, то наши проблемы - это не мои проблемы. Я разделяю Я и Мы. У нас математики нет. Хотя я могу проиллюстрировать некоторые возможности правильной математики.

Гёдель заканчивается отрицанием математики, поскольку утверждение полной математики предполагает ее противоречивость, что прямо запрещено одним из фундаментальных догматов рационализма. Коих, как известно, ровно три. Четвертым дополнили базовые идеи Аристотеля, чтобы попытаться достичь таки полноты, но разрушили, тем самым, попытку внутренней согласованности первых трех.

---

Каждый новый ответ порождает десятки новых вопросов.

Лично мне интересна аргументированная дискуссия по этим вопросам. С описанием широкого спектра мнений, которые равноправны по умолчанию.

Меня интересует не итог - кто прав, кто выиграл, но смысл. Меня интересует процесс формирования смыслов - что это, как работает, какие законы у этого процесса обнаруживаются.

Правильная математика с неизбежностью нужна на старте, но такая математика предусматривает возможности своего развития. И вот на этом пути, через много шагов возникает возможность работы со смыслами, как с отдельными объектами. Я попробовал пойти еще дальше, но там обнаружил странную штуку. Оказалось, что смыслы возникают лишь в некоторой локальной области. За ее пределами смыслов уже нет. Отсюда возникает необходимость религии, которая возвращает смыслы. Я эту необходимость признаю, я изучаю некоторые религии, но сейчас мне интересно вернуться к смыслам как таковым.

---

"Оказалось, что смыслы возникают лишь в некоторой локальной области".
От математики мы отошли далёко. Кратко изложить сложную вещь трудно. Может быть стоит написать пост или перезадать вопрос?

---

Проблемы науки начинаются в ее фундаменте. На сегодня этот фундамент догматический. Нынешняя наука основана на 3-4-х основных законах рационального мышления.

Проблема ухода от любой стартовой догматики решаемая. И решается она математически. И никак иначе. Никакая философия из слов не может предложить полную модель.

Наука начинается с математики - не путать науку и математику с нынешними рациональными.

Поскольку наука начинается с математики, то интересна не только сама математика, как первый шаг. Намного интереснее развитие математики в другие области знания.

Претензии о том, что математика лишает свободы и прочего, несостоятельные. Математика позволяет выходить по ходу развития в область смыслов. Наука, если она на базе настоящей математики, предлагает принципиально новые возможности познания.

Важна стуктура знаний, важна последовательность пути к знаниям. Математика важнейшая - для старта познания.

Нельзя замыкаться лишь в истории математики, замыкаясь в деструкции - по сути. Нужно созидать.

---

У нас математики нет.

Главное что она успешно используется, работает и развивается.

---

В тему современной догматической науки.

"Все это чистой воды фантазии, настолько же неопровержимые, насколько недоказуемые, и, таким образом, не представляющие ценности для знания." (Эрвин Шредингер — австрийский физик-теоретик)

Получается для ученого ценно для знания только то, что можно доказать. То есть вывести в конечном счете из недоказуемых аксиом.

Аксиома, предположение — это утверждение, которое считается истинным, чтобы служить предпосылкой или отправной точкой для дальнейших рассуждений и аргументов. Это слово происходит от греческого ἀξίωμα (axíōma) "то, что считается достойным или подходящим".

Получается ученый не считает неопровержимые факты достойными или подходящими для дальнейших рассуждений.

Получается, что учёный и исследователь — это разные роли. Учёный окучивает свою грядку, а исследователь бегает по равнинам и оврагам.

---

Польза не является критерием верности. Польза - не верификатор. Пользу - одним, плату за нее и вред - другим. Это правильное решение? А ведь это и есть суть рационализма.

Лишь полнота обеспечивает внутреннюю согласованность, которая и является верификатором.

---

Получается для ученого ценно для знания только то, что можно доказать. То есть вывести в конечном счете из недоказуемых аксиом.

Да, это так. Нынешняя наука, будучи рациональной, способна доказать лишь то, что она ничего не способна доказать. Это я интерпретировал так выводы из теорем Гёделя о неполноте.

И вы совершенно верно указали на проблему стартовой догматики. Вопрос даже не в рационализме, но шире - в любой стартовой догматике.

Избавление от стартовой догматики - интереснейшая научная задача. И вполне себе решаемая - через полноту. Рациональным образом она не решается, мы это направление исключаем, благодаря Гёделю. 

Проблема обнаруживается не в собственно решении, ученые умеют делать науку, но в процессе имплементации того, что считается ошибкой - с рациональной точки зрения. То есть правильное решение буквально на обратной стороне рационализма. Проблема инерции рационального мышления колоссальных масштабов. Поскольку на рациональных принципах построено очень многое, как на фундаменте.

Нерациональное решение не разрушает рационализм, дополняя его. Речь об эволюции, не о революции - на самом деле.

---

ученый не считает неопровержимые факты достойными или подходящими для дальнейших рассуждений.

Проблема не в фактах. Реальность противоречива - на самом деле. Если исходить из рациональной догматики, то на базе фактов каждого типа можно строить свою рациональную теорию - но без шансов на объединение различных теорий в единой рациональной теории.

Проблема обнаруживается на этапе обобщения фактов - на уровне логики. За верификацию этапа обобщения должна отвечать методология. Верификация должна обеспечиваться внутренней согласованностью.

Рационализм основан, в основном, на отказе от противоречия. Рационалист считает согласованными лишь такие знания, которые лишены уже внутренних противоречий. Именно так все мы и обучены мыслить. Но нет, полнота, обеспечивающая внутреннее согласование, на базе отказа от противоречия не достигается в принципе - Гёдель.

Разумное мышление является ... противоречивым, на самом деле. В какой форме предаствлены противоречия - в этом и вопрос. Гегель не видел локальную природу реальности. Далеко не всякое противоречивое решение является верным. По аналогии с не всяким рациональным - это вроде бы должно быть понятно.

---

"Рационалист считает согласованными лишь такие знания, которые лишены уже внутренних противоречий. Именно так все мы и обучены мыслить. "
Даже как-то непривычно думать, что физики-теоретики именно так "обучены". Как они бедолаги работают с квантами и на сшивке квантов с ОТО.
А нормальный экспериментатор лезет именно туда, где есть противоречия.
Кстати. про фрустрированные антиферромагнетики слышали?

Answer 4

Потому, что математика не существует в объективной реальности и требует способности человека к абстрагированию. Чем обладают далеко не все люди.

Многие неспособны абстрагировать даже виртуальную реальность от технических средств ее́ создающих и считают виртуальный мир, частью объективной реальности.

А математика вообще голая абстракция.

Comments

математика не существует в объективной реальности

Вот именно, именно в этом и проблема - самой математики, а не ее пользователей.

Одна из задач науки заключается в установлении границы между реальностью и фантазией - вот это возможно реализовать, а вот это нет.

Карта может и должна быть эквивалентна территории. Что может обеспечить лишь математика. Но не нынешняя - не рациональная.

Математики горды своей способностью создавать и понимать виртуальные миры. А для описания настоящей реальности что они сделали? И кто за них эту работу сделает?

Вся западноевропейская цивилизация построена на рациональных основаниях - на рациональных догматах. Рационализм позволяет строить коварную систему с рациональным оазисом внутри, но с необходимостью внешнего мира - третьего мира, за счет которого этот оазис будет процветать.

Рационализм весьма эффективен, но за счет принципа рационального игнорирования полноты - пользу себе, плату за нее и вред сбрасываем во внешний контур - в пространстве и будущим поколениям - во времени. И вот мы уже - эти самые будущие поколения и есть. Кризис разворачивается в полный рост. И где его осмысление?

Математики же делают вид, что к реальности они вообще никакого отношения не имеют, какой с них спрос. А виноваты именно они - в такой своей позиции.

---

Математик может создать теорию дефицита. От этого его творчества дефицита не станет меньше. Это от него не зависит. Это зависит от тех кто и как применяет его теорию. Не от математика. Какой с него спрос?

---

Ваш ответ предполагает наличие математики, которую политики не использовали. С политиков и спрос.

Я же указал на отсутствие математики. И у меня нет претензий к политикам. Они лишь реализаторы. А мы не снабдили их знаниями.

Что у них есть сегодня? Рациональная методология. Кулутьра проигрывает, поскольку она не способна защищать себя в условиях мультирелигиозного общества.

Рационализм исключает свободу и независимость, как источник или индикатор противоречий. В рациональной системе наблюдатель один - всеобщий. Других с их инетересами не существует. Такое решение - с интересами других - ошибочно - с рационално-разумной точки зрения.

На базе какой методологии строить отношения между суверенами? Кто ответит на этот вопрос?

Философия бессильна, поскольку любые основания из слов произвольны, они не способны обеспечить верификацию решения.

Должны ответить математики - на фундаментальный вопрос - об основаниях парадигмы - о старте познания, лишенном стартовой догматики.

И что математики? У них свои миры. А кто настоящую реальность описывать будет?

Для начала нужно построить полную модель, которая будет, гипотетически, эквивалентом материи, где карта эквивалентна территории. И далее, познав полноту, можно идти по пути познания далбше.

Полнота не описывает вообще всё. Древо познания состоит из полных моделей реальности. Полные модели открыты. Первый уровень - модель материи можно построить полным в ближайшие годы буквально. Остальные уровни реальности можно строить бесконечно долго.

---

Думаю, что изначально все люди обладают способностью к абстрагированию- ведь дети же постигают сказки, отлично понимая нереальный характер их места действия и персонажей.  Но потом эта способность отчего-то блокируется или утрачивается. Математики- это романтики, разрешающие себе верить в чудо, несмотря ни на что.

---

Способность фантазировать уступает место умению и опыту моделирования реальности.

Хотя математика должна помогать и такому умению, и такому опыту. Но если уж приходится выбирать между жизнью в грезах и жизнью в реальности, то никто за нас нашу жизнь жить не будет. Отдаем дань социализации - в части философии математики, используем из математики ту ее часть, из которой можем извлечь пользу для себя и для тех, кого ценим, остальное же забываем не только за бесполезностью, но из-за того, что мешает, обманывая, не будучи описанием реальности.

Дважды больнее от того, что обманывает то, во что веришь.

Answer 5

Думаю, что это некий навык мышления, который должен быть развит до определённого возраста, и не исчезнуть, будучи отринутым, позднее.  Если этот навык не заблокировать, а развить, то этот способ мыслить можно применить по отношению не к конкретным, а ко всё более абстрактным понятиям, не связанным напрямую с тем, что мы воспринимаем в реальном мире. В математике абстракции, изначально пришедшие из обобщения жизненного опыта, сами становятся полноправными объектами, формирующими новую реальность, некий мир, альтернативный реальному  - вот этот навык-то и должен быть развит, распространён "по индукции" на всё более и более абстрактные вещи, чтобы любое, сколь угодно абстрактное понятие могло претендовать в мозгу на роль такого же конкретного и "понятного" предмета, как любой изначальный объект реальности.

Кажется, что в определённой степени этот навык есть у каждого, потому что абстракция "количество предметов", лежащая  в основе натурального ряда чисел, понимается всеми. Но дальше почему-то не каждый человек способен включать в игру мышления более абстрактные понятия в качестве изначальных, привычных объектов мышления. Если хотите, математику может понять тот, кто в глубине души не запрещает себе с годами веру в сказки.

Математику нельзя осилить, её можно только научиться понимать. Всё более упорные попытки "осилить", приведут только к краху и разочарованию. Допустить чудо, поверить в него, встроив в строгую систему - не знаю, как это можно выразить точнее!

Думаю, что понимающие математику от непонимающих отличаются привычкой к определённому типу мышления. Непонимающие пытаются всё зазубрить, а понимающие ищут общий принцип, стараясь запоминать как можно меньше, но про более сложные и абстрактные объекты.

Непонимающие математику как-то более ленивы в мышлении, что ли, и это выходит им боком. Им кажется, что всё запомнить проще, чем напрячь мозги и понять. Вот пример, который я запомнил со школьных времён. Когда одноклассники просили меня объяснить решение примера, одни пытались просто запомнить последовательность действий, составляющих решение именно этого примера. Я их не мог понять, потому что примеров на одну тему есть бесчисленное множество! А они отмахивались от моих попыток объяснить, просто списывали решение, и считали, что это всё, что им нужно. А другие пытались понять принцип решения всех схожих примеров, напрягали мозги и "решали" примеры не  штуками, а целыми темами, главами  темами из учебника - точнее говоря, понимали способ решения всех примеров, относящихся к данной теме.

Comments

"Думаю, что это некий навык мышления, который должен быть развит до определённого возраста, и не исчезнуть, будучи отринутым, позднее."

Не навык, а методология и вполне себе конкретная - рациональная. Которая не просто ошибочная, но абсурдная. Теоремы Гёделя о неполноте можно развить до следующего утверждения:

"Если мы начинаем с отказа от противоречия, то мы приходим к необходимости противоречия". Что является буквальным определением абсурда.

Что все меняет, не правда ли?

"этот способ мыслить можно применить по отношению не к конкретным, а ко всё более абстрактным понятиям, не связанным напрямую с тем, что мы воспринимаем в реальном мире".

Одна из задач науки заключается в установлении границы между реальностью и фантазиями. Что должна обеспечивать математика и на что не способна рациональная версия математики.

Обращаете позор в доблесть? А жить как? В фантазиях? В такой системе ценностей, которая исключает независимость, а также свободу, веру, волю и выбор? В такой системе, где такое вот - рациональное - провозглашается эквивалентом разумности? Серьезно? А как строить отношения между странами с сохранением их суверенитета? А откуда политики возьмут иную методологию, они ведь ее не создают, они не ученые, они реализаторы в поле существующих знаний?

"по индукции"

Логика у вас рациональная, которая исключает свойства времени (которые различные, их несколько). Логика не о реальности. Вы сами об этом - чуть выше. Логика - о некоей третьей, вами самими придуманной реальности:

Если хотите, математику может понять тот, кто в глубине души не запрещает себе с годами веру в сказки.

Вы романтизируете ошибки математиков, не замечая того, математики и есть единственные, кто обязан стартовать новую парадигму, которая только и способна спасти мир. Именно математики ответственны за то, что происходит вокруг. Не политики.

Любая из существующих парадигм начинается со стартовой догматики и ведет в дебри фантазий, уводя от реальности. Проектируют и прогнозируют одно, но получают в итоге совершенно непредсказуемую реакцию реальности.

Математики должны создать полную модель. В рациональных условиях такое решение невозможно- доказано Гёделем. Но где исследования нерациональной области? Где решение, которое находится в области нерациональности?

Пропаганду рациональных фантазий в вашем исполнении я читаю, но модель реальности где?

Сложность тренирует ум, но если вы не устанавливаете границу между фантазиями и реальностью, то вы лишаете умных, обученных вами, возможности реализовывать себя в реальности. Что в точности следует из ваших же рассуждений.

Answer 6

Освоить можно любую науку. А уж тем более математику. Главное разобраться с причиной, почему тот или иной материал не освоен.

Поэтому буду роазбираться по пунктам.

Какой последний материал по математике Вы усвоили полностью? Какие физические ощущения вызывают неусвоенные материалы по математике?

Answer 7

Математик  - это от рождения. Также как и музыкант. Можно, конечно без всяких способностей учиться пиликать на скрипке. Но это будет лишь мучение. А другой сразу взял и играет. Также и математик - взглянул на условие задачи и сразу интуитивно видит способ решения. Также как и талантливые хирурги, спортсмены, водители и т.д.

Comments

Как мы здесь выясняем по ходу обсуждения, математика является языком, формирующим некоторую свою - сказочную реальность.

Я встречал такую нумерацию:

Объективную реальность называют первой, субъективную - второй, рационально-научную "некоей третьей", никак не определенной. Она определяется договоренностями между сказочниками.

Есть те, кто способен лишить себя опоры на реальность, окунувшись в сказку, познав и признав договоренности сказочников. А есть те, кто опирается на настоящую реальность. Этим тяжело. В мире сказочников их представляют недостаточно развитыми.

Если на западе в ходу обучение, то в Советском Союзе занимались, наоборот, образованием, то есть мышлением через образы, а не рационально-сказочно. Образное мышление развивает культура, которая противоречива. Культура, среди прочего, предполагает доступ к реальности через со-знание, через ощущение реальности в текущем настоящем непосредственно, без задержки на анализ - вне анализа. Как этот механизм работает и как его использовать - вопросы отдельные. Учили не понимать этот механизм, он в понимании не нуждается, он просто работает, если уметь им пользоваться. Нужен лишь пороговый опыт с его последующим развитием.

Answer 8

Математику совсем не трудно понять. Математика - один из самых простых школьных предметов. А по истории много было отличников?

Comments

Да, обычно по истории 5-чников больше, чем по математике. По истории нужно только запоминать те сказки, которые изложены в учебнике и бойко их озвучивать. А для математики нужно соображать, класса до 5-го, думаю, все способны хорошо освоить, потом начинаются пробелы, непонимания, и все же нужно иметь способности к абстрактному мышлению, которые не у всех в достаточной мере есть, у некоторых гуманитарные предметы хорошо идут, а точные науки не даются..

Answer 9

Наоборот, не трудно осваивать было, только запускать не надо. И очень интересно примеры и задачи решать, до сих пор периодически ищу что-нибудь в фипишных материалах к ЕГЭ и решаю, а почти 40 лет прошло со школы..   Вот иностранные языки трудно, по-моему освоить, химия трудна для понимания, физика тоже..  А математика- это красиво и такой кайф, когда что-то сложное решишь!)