Что такое прямая линия в математике?

Question

  Встречается такое определение: прямая – это не искривляющаяся линия, которая не имеет ни начала, ни конца. 

Но что такое "не искривляющаяся"?

Answer 1

Линия - это множество точек на прямой.
Прямая - это гипотетическая линия, проведенная через некую точку, описываемая линейной функцией: F(x) = kx + b (y = kx + b).
"Не искривляющаяся", т.е. не кривая - означает постоянство линейной функции на всем протяжении,
       т.к. кривая имеет в своей реализации а) либо нелинейную функцию (параболу или гиперболу, логарифм, например), б) либо непостоянство линейной функции на определенных отрезках (как те. что дают линейные функции по модулю х (|x|), в) либо комбинацию из нескольких функций, описывающих данную кривую.

Многие фундаментальные термины не имеют в науке фундаментального описания (точка, например),  т.к. сами являются фундаментом для того, что описывают. Это предел знаний, ниже которого науке не спуститься (всегда с оговоркой "пока что"); все, что они описывают - работает, или их работа математически предсказывается, и подтверждается затем экспериментально, а значит, их существование, как фундамента, оправдано.

Comments

 des-kitten

Прямая - это гипотетическая линия, проведенная через некую точку, описываемая линейной функцией: F(x) = kx + b (y = kx + b).

 Здесь прямая линия описывается через некую функцию в системе координат (x,y). Но тогда надо вначале определить оси координат - а они тоже прямые линии. То есть здесь прямая линия определяется через прямые линии. Замкнутый круг!

---

Сергею.

Мне нравится подход.

Функция, это, всё-таки, не график функции. Это связь двух множеств, в данном случае x и y. И "линейность" означает аддитивность. Вот мы избавились от геометрии и всяких "неискривляющихся" и пришли к математике.

Вопрос, что за множества x и y? И z и т.д.

А это размерности пространства.

Получается, что есть движение вдоль измерения x, есть движение вдоль измерения y. Движение грубо понимаем как изменение расстояния. Если движение можно описать через аддитивную зависимость, то это - прямая

---

 

Функция, это, всё-таки, не график функции. Это связь двух множеств, в данном случае x и y. И "линейность" означает аддитивность. Вот мы избавились от геометрии и всяких "неискривляющихся" и пришли к математике.

 В этой функции мы используем для каждой точки линии численные значения x и y. Но что такое x и y? Это расстояние от точки линии до соответствующих осей координат, которые являются прямыми линиями. Так что и здесь не избежать геометрических представлений. Как вы можете без геометрии объяснить построение системы координат?

---

расстояние от точки линии до соответствующих осей координат

Нет. Я же написал - это измерения пространства: длина, высота, ширина... Т.е. степени свободы движения

Answer 2

Мне кажется, что прямая относится к "первым" понятиям и не определяется. Дальше можно говорить о аксиомах геометрии (через 2 точки одна прямая...; через точку вне прямой - одна параллельная...).
А "не искривляющаяся" - кратчайшее расстояние между двумя точками лежит на прямой их соединяющей. Но перед этим надо определить расстояние, длину отрезка...

Comments

 

andreyofedotov

прямая относится к "первым" понятиям и не определяется

 Исторически прямая определялась как траектория луча света. Мы визуально наблюдем три точки на одной прямой, если луч света проходит через эти три точки. Мы можем зрительно совместить эти три точки (например, в прицеле: глаз-мушка-цель). Также считается, что луч света движется по кратчайшей линии.   

---

Сергеев. Я думал вопрос по математике. В математике понятие прямой через "прицел" определять не принято (да для прямой 3х точек и не нужно)
Принцип Ферма тоже не очень подходит.
Мне это напоминает самое начало книжки Мигдала ("Качественные методы...."?), где для иллюстрации разницы подхода в математике и физике теорема Пифагора доказывается с использованием теоремы косинусов ( а+b=c (векторно) и возводим в квадрат). В математике так нельзя.

---

 andreyofedotov 

В физике прямую можно определить как траекторию тела движущегося по инерции (1 закон Ньютона). Кстати, свет в вакууме тоже движется как тело по инерции (очевидно потому, что на фотон не действуют никакие силы). В гравитационном поле траектория света искривляется, но там и прямые линии также искривляются, поэтому сумма углов треугольника не 180 град.

---

 

Я думал вопрос по математике. В математике понятие прямой через "прицел" определять не принято (да для прямой 3х точек и не нужно)

 Можно сформулировать вопрос чисто математически: Что значит, что три точки лежат на одной прямой. Допустим, мы нашли, какое условие X для трёх точек должно выполниться, чтобы эти три точки лежали на одной прямой. Тогда мы мы сможем определить, что прямая линия, это такая линия, любые три точки которой удовлетворяют этому условию X.

---

Сергееву. По-прежнему не понимаю зачем 3 точки. Через 3 я и параболу проведу. Для прямой хватит 2х. Но не суть. Можно написать систему линейных уравнений. Выписать определители и убедиться, что это разные прямые, узнать какие точки  ей принадлежат, какие нет. Но для того чтобы утверждать, что прямую надо описывать линейным уравнением надо сначала ввести числовую прямую.

---

 

 andreyofedotov

 По-прежнему не понимаю зачем 3 точки. Через 3 я и параболу проведу. Для прямой хватит 2х. 

 2 любые точки всегда лежат на какой-нибудь одной прямой. А вот 3 точки не всегда лежат на какой-нибудь одной прямой. Могут лежать, а могут и не лежать. Поэтому если мы находим некий признак, при выполнении которого 3 точки лежат на одной прямой, мы тем самым получаем определение прямой. Но этот признак (или условие) не должен быть числовым. Потому что числовые характеристики прямой вводятся через некую систему координат, которая сама строится на координатных осях (то есть неких прямых). Это должен быть чисто геометрический признак (условие) расположения трёх точек.

---

Сергееву. "Не образумлюсь, виноват..." Прямая определяется 2 точками. Сумма (AB + BC) ≥ AC  и равенство iff В ∈ АС . Но это тоже аксиома: "Каждый отрезок имеет определенную длину, бóльшую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Данное утверждение является аксиомой, то есть оно изначально принимается как верное и доказательству не подлежит"

---

 

 andreyofedotov

Прямая определяется 2 точками.

 Как прямая определяется двумя точками? Да, через две точки можно провести единственную прямую. В этом смысле определяется? Но сам факт прохождения некой линии через две точки не является определением прямой (в том смысле, что нельзя сказать, что если некая линия проходит через две точки, то она является прямой). Через 2 точки может проходить бесконечное число разных "кривых" линий и только одна прямая. Поэтому  здесь пока нет ответа, почему линия является прямой. Прохождения через две точки для этого недостаточно. Нужно ещё что-то дополнительное, чтобы некая линия стала прямой. Да, таким условием могло бы быть требование, чтобы для любых трех точек A, B, C на линии, где В лежит между А и С выполняется AB + BC =AC. То есть, как Вы написали "Длина любого отрезка линии равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой".  Но это же условие выполняется для любой линии, в том числе и для "кривой". Для прямой же линии главное отличие от кривой в том, что длина отрезка прямой линии между двумя точками А и С меньше, чем длина отрезка кривой линии между этими двумя точками. Поэтому можно определить прямую линию, как линию с наименьшей длиной отрезка между любыми её двумя точками. 

---

Сергееву. Примерно это я и писал. Осталось определить "по определению", что длина определяется по отрезкам прямой, рассказать о траектории, ввести понятие бесконечно малых.. Т.е. всё сводится к тому, что без аксиом, которые включают неопределённые понятия не обойтись.

Answer 3

Линия описывается некоторой функцией. Если вторая производная для этой функции равна нулю, то линия — прямая.

Comments

 

mars59

Если вторая производная для этой функции равна нулю, то линия — прямая.

 Это более сложное определение, но если внимательно рассмотреть его, то необходимо вначале определить функцию в некоторой системе координат (x,y). А для этого нужно ввести оси координат, которые должны быть прямыми линиями. Замкнутый круг определений!