Привлечение обычной ( бытовой ) логики, также, приводит к известному результату. В самом деле : 0^0 = 0^(1-1) = 0^1*0^(-1) = (0)/(0). Если и в числителе и в знаменателе под числом ноль понимать бесконечно малую величину ( б.м.в. ) равного порядка ( а в математике рассматривают и “ нули “ различающихся порядков ), то получим, что происходит деление б.м.в. на б.м.в., что ожидаемо = 1. Теперь строже : обозначим y = x^x; lim y(x—>0) = lim x^x(x—>0); ln y = ln x^x = x*ln(x); lim y(x—>0) = lim x*ln(x)(x—>0) = lim ln(x)/(1/x)(x—>0) = - lim ln(x)/(1/x)(x—>0). Знак “-“ появился для того, чтобы предел от дроби был для величин одинакового знака. Применяя к последнему выражению правило Лопиталя ( беря отдельно первые производные и в числителе и в знаменателе ) под операцией предела, получим : y = - lim(x—>0)(1/x)/(-1/x^2) = lim(x—>0)(x^2/x) = lim x(x—>0). Получим : ln(y) = 0. Отсюда : у = 1, т.е. ноль в степени ноль равен 1.
